Question

【題目】（本小題滿分10分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值;

（2）設(shè),若 有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）. （2）的取值范圍是{}∪[1,＋∞）．

【解析】

試題分析：（1）通過偶函數(shù)的定義，知，化簡得,進(jìn)而求出。（2）通過分析得出題意可化為方程有且只有一個實根, 令,則有且只有一個正根，再通過，分三種情況、、討論求的取值范圍。

試題解析：（1）由函數(shù)是偶函數(shù)可知:,

∴,

化簡得,

即對一切恒成立,∴.

（2）函數(shù)與的圖象有且只有一個公共點,

即方程有且只有一個實根,

化簡得:方程有且只有一個實根,

且成立, 則

令,則有且只有一個正根

設(shè),注意到,

所以①當(dāng)時, 有, 合題意;

②當(dāng)時,圖象開口向下,且,則需滿足

,此時有;（舍去）

③當(dāng)時,又,方程恒有一個正根與一個負(fù)根.

綜上可知,的取值范圍是{}∪[1,＋∞）．