Question

設(shè)

a

，

b

是夾角為60°的單位向量，若

c

是單位向量，則(

a

-

c

)•(

b

+

c

)的取值范圍（　　）

• A．[-1，1]
• B．[-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ]
• C．[-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ]
• D．[-

  3

  2

  ，

  3

  2

  ]

Answer 1

分析：通過建立直角坐標(biāo)系寫出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的取值范圍即可．

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則

a

=(1，0)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，
設(shè)向量

c

與x軸的夾角為θ，則

c

=(cosθ，sinθ)．θ∈[0，2π）．
則

a

-

c

=（1-cosθ，-sinθ），

b

+

c

=(

1

2

+cosθ，

3

2

+sinθ)．
∴(

a

-

c

)•(

b

+

c

)=(1-cosθ)(

1

2

+cosθ)+(

3

2

+sinθ)(-sinθ)
=-

1

2

+

1

2

cosθ-

3

2

sinθ
=sin(

π

6

-θ)-

1

2

∵-1≤sin(

π

6

-θ)≤1，∴-

3

2

≤sin(

π

6

-θ)≤

1

2

．
∴(

a

-

c

)•(

b

+

c

)的取值范圍是[-

3

2

，

1

2

]．
故選C．

點(diǎn)評：熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積和三角函數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．