Question

（2010•天津模擬）兩圓x²+y²+2ax+a²-4=0和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則

1

a2

+

1

b2

的最小值為（　　）

• A．

  1

  9

• B．

  4

  9

• C．1
• D．3

Answer 1

分析：由題意可得 兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標準方程求出圓心和半徑，由

a2+4b2

=3，得到

a2+ 4b2

9

=1，

1

a2

+

1

b2

=

a2+ 4b2

9a2

+

a2+ 4b2

9b2

=

1

9

 +

4

9

+

4b2

9a2

+

a2

9b2

，使用基本不等式求得

1

a2

+

1

b2

的最小值．

解答：解：由題意可得 兩圓相外切，兩圓的標準方程分別為 （x+a）²+y²=4，x²+（y-2b）²=1，
圓心分別為（-a，0），（0，2b），半徑分別為 2和1，故有

a2+4b2

=3，∴a²+4b²=9，
∴

a2+ 4b2

9

=1，∴

1

a2

+

1

b2

=

a2+ 4b2

9a2

+

a2+ 4b2

9b2

=

1

9

 +

4

9

+

4b2

9a2

+

a2

9b2

 
≥

5

9

+2

4 81

=1，當且僅當

4b2

9a2

=

a2

9b2

 時，等號成立，
故選  C．

點評：本題考查兩圓的位置關系，兩圓相外切的性質，圓的標準方程的特征，基本不等式的應用，得到 

a2+ 4b2

9

=1，
是解題的關鍵和難點．