Question

【題目】已知函數的最大值為.

（1）若關于的方程的兩個實數根為，求證：；

（2）當時，證明函數在函數的最小零點處取得極小值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】分析：（1）本小問的解決方法是利用這個條件，得到含有的等式，對等式進行變形處理，使得等式左邊是，右邊是分式。則求證目標不等式等價于證等式右端的部分，運用作差比較法構造函數，對運用導數進行研究，即可證明原不等式；

（3）討論函數的單調性，取絕對值得到的分段形式，若證明，則證明，記，求導分析單調性即可證得.

詳解：（1），由，

得；由，得；

所以，的增區間為，減區間為，

所以，

不妨設，∴，

∴，

∴，∴，∴，

設，則，

所以，在上單調遞增，，則，

因，故，所以；

（2）由（1）可知，在區間單調遞增，又時，，

易知，在遞增，，

∴，且時，；時，，

當時，，

于是時，，

所以，若證明，則證明，

記，

則，

∵，∴，

∴在內單調遞增，∴，

∵，

∴在內單調遞增，

∴，

于是時，.

所以在遞減.

當時，相應的.

所以在遞增.

故是的極小值點.