Question

【題目】如圖是正四面體的平面展開圖，分別是的中點，在這個正四面體中：①與平行；②與為異面直線；③與成60°角；④與垂直.以上四個命題中，正確命題的個數是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：正四面體的平面展開圖復原為正四面體A（B、C）﹣DEF，

①，依題意，MN∥AF，而DE與AF異面，從而可判斷DE與MN不平行；

②，假設BD與MN共面，可得A、D、E、F四點共面，導出矛盾，從而可否定假設，肯定BD與MN為異面直線；

③，依題意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判斷GH與MN成60°角；

④，連接GF，那么A點在平面DEF的射影肯定在GF上，通過線面垂直得到線線垂直．

詳解：將正四面體的平面展開圖復原為正四面體A（B、C）﹣DEF，如圖：

對于①，M、N分別為EF、AE的中點，則MN∥AF，而DE與AF異面，故DE與MN不平行，故①錯誤；

對于②，BD與MN為異面直線，正確（假設BD與MN共面，則A、D、E、F四點共面，與ADEF為正四面體矛盾，故假設不成立，故BD與MN異面）；

對于③，依題意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH與MN成60°角，故③正確；

對于④，連接GF，A點在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，

而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．

綜上所述，正確命題的序號是②③④，

故答案為：②③④．