Question

已知橢圓的一個焦點F1(0，-2

2

)，對應的準線方程為y=-

9

4

2

，且離心率e滿足

2

3

，e，

4

3

成等比數列．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線x=-

1

2

平分？若存在，求出l的傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵

2

3

，e，

4

3

成等比數列∴e2=

2

3

×

4

3

e=

2

3

2

設p（x，y）是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得

x2+(y+2 2 )2

|y+ 9 4 2 |

=

2 2

3

，化簡得9x2+y2=9
即x2+

y2

9

=1為所求的橢圓方程．
（2）假設l存在，因l與直線x=-

1

2

相交，不可能垂直x軸
因此可設l的方程為：y=kx+m
由

y=kx+m 9x2+y2=9

消去y，得9x2+(kx+m)2=9整理得
（k²+9）x²+2kmx+（m²-9）=0①
方程①有兩個不等的實數根
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0即m²-k²-9＜0②
設兩個交點M、N的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
∴x1+x2=

-2km

k2+9

∵線段MN恰被直線x=-

1

2

平分
∴-

1

2

=

x1+x2

2

即-

2km

k2+9

=-1
∵k≠0∴m=

k2+9

2k

③把③代入②得 (

k2+9

2k

)2-(k2+9)＜0
∵k²+9＞0∴

k2+9

4k2

-1＜0∴k²＞3解得k＞

3

或k＜-

3

∴直線l的傾斜角范圍為(

π

3

，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)