Question

已知實數函數（為自然對數的底數）．

（Ⅰ)求函數的單調區間及最小值；

（Ⅱ）若≥對任意的恒成立，求實數的值；

（Ⅲ）證明：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調遞減區間為，單調遞增區間為，；（Ⅱ）； （Ⅲ）證明見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導數分析函數的單調性，由得出函數單調遞減區間為，單調遞增區間為，從而；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中時的單調性可知，即，構造函數，由導函數分析可得在上增，在上遞減，則，由對任意的恒成立，故，得；（Ⅲ）先由（Ⅱ），即，由于，從 而由放縮和裂項求和可得：

.

試題解析：（I）當，

由， 得單調增區間為；

由，得單調減區間為 ，                       2分

由上可知                           4分

（II）若對恒成立，即，

由（I）知問題可轉化為對恒成立 ．       6分

令 ，   ，

在上單調遞增，在上單調遞減，

∴．

即 ， ∴ ．                   8分

由圖象與軸有唯一公共點,知所求的值為1．   9分

（III）證明：由（II）知，   則在上恒成立．

又，                       11分

                        12分

．14分

考點：1.利用導數數求函數的單調性；2.利用導數處理不等式的恒成立問題；3.放縮法證明不等式