Question

已知f（x）是定義在集合D上的函數，且-1＜f′（x）＜0．
（1）若，在[]（[]⊆D）上的最大值為，試求不等式|ax+1|＜a的解集．
（2）若對于定義域中任意的x₁，x₂，存在正數ε，使|x₁-1|＜且|x₂-1|＜，求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜ε．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數的單調性得到函數的最大值，進而得到a的值，解出不等式即可；
（2）不妨設x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x，由已知得到函數g（x）的單調性，進而得到，又由函數f（x）的單調性，得到?，即得證．
解答：解：（1）由于f′（x）＜0，則函數f（x）在上單調遞減，
故=，解得a=
則原不等式為，解之得-5＜x＜-3
故原不等式的解集為（-5，-3）；
（2）不妨設x₁＜x₂，令g（x）=f（x）+x
由于f′（x）＞-1，故g′（x）=f′（x）+1＞0，則函數g（x）為其定義域上的增函數，
即，亦即，
則
又由函數f（x）在D上遞減，則
故
∵=+=?
∴
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．