Question

在平面直角坐標系中，點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設點P的軌跡為．

（1）求C的方程；

（2）設直線與C交于A，B兩點．問k為何值時？此時的值是多少？

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：

(1) 通過配方把圓和圓的普通方程化為標準方程,得到圓心的坐標,根據橢圓的定義可以判斷C點軌跡為橢圓,其中兩個圓的圓心為焦點可得且橢圓的焦點在y軸上,根據題意,李永剛之間的關系即可求出的值,進而得到C的方程.

(2)聯立直線與橢圓的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB兩點的橫坐標,利用二次方程根與系數的關系得到AB兩點橫坐標之間的關系,利用得到AB橫縱坐標之間的關系即可求出k的值,再利用橢圓的弦長公式即可求出的長度.

試題解析：

（1）由已知得兩圓的圓心坐標分別為. （1分）

設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸長為2的橢圓． （2分）

它的短半軸長， （3分）

故曲線C的方程為． （4分）

（2）設，其坐標滿足

消去y并整理得， （5分）

∵， ，∴，

故． （6分）

又 （7分）

于是． （8分）

令，得. （9分）

因為，

所以當時，有，即. （10分）

當時，，． （11分）

， （12分）

而， （13分）

所以． （14分）

考點：弦長 內積 橢圓定義 圓