Question

已知α，β均為銳角，且tan(α-

π

4

)=

1

3

，sinβ=

5

5

，則α+β=

 

．

Answer 1

分析：依題意，可求得tanα，利用兩角和的正切可求得cos（α+β），從而由α，β均為銳角可知α+β的值．

解答：解：∵tan（α-

π

4

）=

1

3

，
∴tanα=tan[（α-

π

4

）+

π

4

]=

tan(α- π 4 )+tan π 4

1-tan(α- π 4 )tan π 4

=

1 3 +1

1- 1 3

=2，
又α為銳角，
∴cosα=

1

5

=

5

5

，sinα=

2 5

5

，
又β為銳角，sinβ=

5

5

，
∴cosβ=

2 5

5

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

5

5

×

2 5

5

-

2 5

5

×

5

5

=0，而α，β均為銳角，
∴α+β=

π

2

．
故答案為：

π

2

．

點評：本題考查兩角和的正切函數與兩角和的余弦，求得tanα的值是關鍵，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．