Question

設(shè)函數(shù)．

（I）證明：是函數(shù)在區(qū)間上遞增的充分而不必要的條件；

（II）若時(shí)，滿(mǎn)足恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）見(jiàn)解析（II）

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）利用是函數(shù)在區(qū)間上遞增的充分而不必要的條件，分為兩步來(lái)證明先證明充分性，再證明不必要性。

（2）求解導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，然后借助于導(dǎo)數(shù)為正或者為負(fù)數(shù)時(shí)的解集，得到單調(diào)增減區(qū)間，進(jìn)而判定函數(shù)的極值，得到函數(shù)的最值，進(jìn)而求解參數(shù)的范圍。

解：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得  ，      …………2分

先證充分性：若，，，

 函數(shù)在區(qū)間上遞增.                            ……………4分

再說(shuō)明非必要性:在區(qū)間上遞增， ∴對(duì)1<x<2恒成立

由得，，而，

所以，即                             …………5分

所以，是函數(shù)在區(qū)間上遞增的充分而不必要的條件 ……7分

（2） ，令，得  

 顯然，時(shí)不符合題意. …………8分

 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（）上遞增，在上遞減，

若時(shí)，恒成立，需=6

 ，得.                …………………10分

  當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（）上遞增，在上遞減，

 此時(shí)，，如滿(mǎn)足恒成立，

需得  …………12分

故若時(shí)，滿(mǎn)足恒成立，實(shí)數(shù)

                               ------------------------------14分