Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．

(1)求證：OD∥平面PAB；

(2)時，求直線PA與平面PBC所成的角的正弦值；

(3)當k取何值時，O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：∵O、D分別為AC、PC的中點，∴OD∥PA． 又∵PA平面PAB ∴OD∥平面PAB (2)解：∵AB⊥BC，OA=OC， ∴OA=OA=OC 又∵OP⊥平面ABC， ∴PA=PB=PC． 取BC中點E，連結PE．則BC⊥平面POE． 作OF⊥PE于F，連結DF，則OF⊥平面PBC． ∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．又OD∥PA， ∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF．在Rt△ODF中， ． (3)解由(2)知，OF⊥平面PBC， ∴F是O在平面PBC內的射影． ∵D是PC的中點，若點F是△PBC的重心，則B、F、D三點共線． ∴直線OB在平面PBC內的射影為直線BD． ∵OD⊥PC，∴PC⊥BD． ∴PB=BC，即k=1． 反之，當k=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐， ∴O在平面PBC內的射影為△PBC的重心．