Question

如圖，在空間六邊形（即六個頂點沒有任何五點共面）ABCC₁D₁A₁中，每相鄰的兩邊互相垂直，邊長均等于a，并且AA₁∥CC₁．求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁．

Answer 1

【答案】分析：在平面A₁BC₁內的兩條相交直線BC₁和A₁C₁，證明A₁C₁∥平面ACD₁，BC₁∥平面ACD₁即可證明兩個平面平行．
解答：證明：作正方形BCC₁B₁和CC₁D₁D，并連接A₁B₁和AD．
∵AA₁CC₁BB₁DD₁，且AA₁⊥AB，AA₁⊥A₁D₁，
∴ABB₁A₁和AA₁D₁D都是正方形，且ACC₁A₁是平行四邊形．
故它們的對應邊平行且相等．
∵△ABC≌△A₁B₁C₁，∴A₁B₁⊥B₁C₁．
同理，AD⊥CD．
∵BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，∴BB₁⊥平面ABC．
同理，DD₁⊥平面ACD．
∵BB₁∥DD₁，∴BB₁⊥平面ACD．
∴A、B、C、D四點共面．
∴ABCD為正方形．
同理，A₁B₁C₁D₁也是正方形．
故ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體．
易知A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁∥平面ACD₁．
同理，BC₁∥平面ACD₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁．
點評：本題考查平面與平面平行的判定，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．