Question

已知函數f（x）=

1+alnx

x

，a∈R．
（1）若函數f（x）在x=1處取得極值，求實數a的值；
（2）在（1）條件下，若直線y=kx與函數y=f（x）的圖象相切，求實數k的值；
（3）記M={y|y=f（x）}，若

a

9

∈M，求滿足條件的實數a的集合．

Answer 1

分析：（1）根據極值的定義可得f′（1）=0，求解即可得到實數a的值；
（2）設切點A（x₀，y₀），根據直線y=kx與函數y=f（x）的圖象相切和導數的幾何意義，可得k=f′（x₀），再根據k=k_OA，建立關于x₀的等式，然后求出x₀（要注意其大于0），即可求得實數k的值；
（3）要使M={y|y=f（x）}，且

a

9

∈M，即存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）=

a

9

，即

1+alnx0

x0

-

a

9

=0，即9（1+alnx₀）=ax₀，則x₀-9lnx₀=

9

a

，令g（x）=x-9lnx，利用導數研究g（x）的取值范圍，從而可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

1+alnx

x

，
∴f′（x）=

a-1-alnx

x2

，
∵函數f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=a-1=0，
∴a=1；
（2）由（1）可知，a=1，
∴f（x）=

1+lnx

x

，
∴f′（x）=-

lnx

x2

，
設切點A（x₀，y₀），即（x₀，

1+lnx0

x0

），
∴k=f′（x₀）=-

lnx0

x02

，
又∵k=k_OA=

y0

x0

=

1+lnx0

x02

，
∴-

lnx0

x02

=

1+lnx0

x02

，解得，lnx0=-

1

2

，
∴x₀=e-

1

2

，
∴k=-

lnx0

x02

=

e

2

，
實數k的值為

e

2

；
（3）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
∵M={y|y=f（x）}，且

a

9

∈M，
∴存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）=

a

9

，即

1+alnx0

x0

-

a

9

=0，
即9（1+alnx₀）=ax₀，則x₀-9lnx₀=

9

a

令g（x）=x-9lnx，
∴g′（x）=1-

9

x

，令1-

9

x

=0，解得x=9，
當x∈（0，9）時，g′（x）＜0，函數g（x）在（0，9）上單調遞減，
當x∈（9，+∞）時，g′（x）＞0，函數g（x）在（9，+∞）上單調遞增，
∴g（x）在x=9處取極小值即為最小值9-9ln9，
∴

9

a

≥9-9ln9，則a＞0或a≤

1

1-ln9

．

點評：本題考查了導數的幾何意義，利用導數研究函數的極值，元素與集合關系的判斷．解題時要注意運用極值點必定是導函數對應方程的根，而導函數對應方程的根不一定是極值點．導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．屬于中檔題．