Question

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意實數a，b∈R滿足：f(a•b)=af(b)+bf(a)，f(2)=2，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=

f(2n)

2n

(n∈N*)
考察下列結論：①f（0）=f（1）；②數列{a_n}為等比例數列；③數列{b_n}為等差數列．
其中正確的結論是（　　）

• A、①②③
• B、①③
• C、①②
• D、②③

Answer 1

分析：給a、b賦值，使它們都等于0，再使它們都等于1，得到結論①正確，把第三個條件兩邊同乘n化為整式形式，用第一個式子逐漸展開，得到等比數列，通過第二步整理，可得第三個結論正確．

解答：解：∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正確，
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）
=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）
=2f（2^n-1）+2ⁿ
=…
=n•2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，b_n=n
∴①②③都正確，
故選A

點評：這種題做起來易出錯，使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題