Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x，y）（x≠0）作斜率為k₁、k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；
（2）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線PA、PB的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理，確定P，M的坐標，即可證明線段PM的中點在y軸上；
（2）∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有，由此即可求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．
解答：（1）證明：設直線PA的方程為y-y=k₁（x-x），直線PB的方程為y-y=k₁（x-x）．
點P（x，y）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x-y=0，于是，故③（3分）
又過點P（x，y）和點B（x₂，y₂）的直線的斜率為k₂，同理可得．
由已知得，k₂=-λk₁，則． ④（4分）
設點M的坐標為（x_M，y_M），由，則．
將③式和④式代入上式得，即x_M+x=0．
∴線段PM的中點在y軸上．    （6分）
（2）解：因為點P（1，-1）在拋物線y=ax²上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x²得．
將λ=1代入④式得x₂=k₁-1，代入y=-x²得．
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為，．  （8分）
于是，，．
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有．
即2k₁（k₁+2）（2k₁+1）＜0    （10分）
解得k₁＜-2或．   （12分）
又點A的縱坐標y₁滿足，
故當k₁＜-2時，y₁＜-1；當時，．
即（13分）
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．