Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（4）與f（8）的值；
（2）解不等式f（x）-f（x-2）＞3．

Answer 1

解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2
∴f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=3
（2）根據題意，不等式f（x）-f（x-2）＞3可變為
f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f[8（x-2）]
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，，
解得，
∴原不等式的解集是
分析：（1）直接把4分成2×2，再代入f（xy）=f（x）+f（y），結合f（2）=1即可求出f（4）的值，同理可得f（8）的值；
（2）先把不等式f（x）-f（x-2）＞3轉化為f（x）＞f（x-2）+3=f（x-2）+f（8）=f[8（x-2）]；再結合f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數即可求出不等式的解集．（注意其定義域的限制）
點評：本題主要考查抽象函數的應用．解決第二問有兩個地方是關鍵：①把原不等式轉化為f（x）＞f（x-2）+3；
②把3轉化為f（8）．