Question

已知橢圓，過點P（1，1）作直線l與橢圓交于M、N兩點．
（1）若點P平分線段MN，試求直線l的方程；
（5）設與滿足（1）中條件的直線l平行的直線與橢圓交于A、B兩點，AP與橢圓交于點C，BP與橢圓交于點D，求證：CD∥AB．

Answer 1

（1）解：設M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2.①②
①-②化簡可得+=0
∴．
故直線l的方程為，即x+2y-3=0．（5分）
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且，
∴1-x₁=λ₁（x₃-1），1-y₁=λ₁（y₃-1）
∴，
將點A、C的坐標分別代入橢圓方程：①，②
②×-①，并約去1+λ₁得③
同理有④
④-③可得+=λ₂-λ₁
∵，∴+=0
∴
即，即λ₁=λ₂，
所以CD∥AB．（12分）
分析：（1）設M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），則有x_M+x_N=2，y_M+y_N=2，利用點差法，可得，從而可求直線l的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），且，，可得，，將點A、C的坐標分別代入橢圓方程，化簡可得，同理有，由此可得λ₁=λ₂，故可證得結論．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查點差法的運用，解題的關鍵是設點，利用點差法解題．