Question

已知橢圓C過點P（1，），兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F₁的直線交橢圓于A、B兩點，求線段AB的中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的方程，將P的坐標代入橢圓的方程得到關于a，b的等式，再根據橢圓的三個參數的關系列出關于a，b，c的另一個等式，解方程組求出a，b的值即得到橢圓的方程．
（2）設出直線AB的方程，將直線的方程與橢圓方程聯立，消去x得到關于y的二次方程，利用韋達定理表示出中點的坐標，消去參數m得到中點的軌跡方程．
解答：解：（1）由題意可知，c=1，a²=b²+1
設橢圓的方程為（a＞b＞0）…即
因為點P在橢圓上，所以，解得b²=3，
所以橢圓方程為  
（2）解：設過點F₁的直線方程為：x=my-1
代入，得：
整理得（3m²+4）y²-6my-9=0
同理可得：
設線段AB的中點為M（x，y），則
整理得：3x²+4y²+3x=0
當y=0時，易知線段AB的中點為原點，滿足上述方程．
綜上所述，所求的方程為：3x²+4y²+3x=0
點評：求圓錐曲線的方程問題，一般利用待定系數法，注意橢圓中的三個參數的關系與雙曲線中的三個參數關系的區別；解決直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，利用韋達定理找突破口．