Question

已知函數．
（1）求在上的最大值；
（2）若直線為曲線的切線，求實數的值；
（3）當時，設，且，若不等式恒成立，求實數的最小值．

Answer 1

（1）（2）或．   （3）的最小值為．

試題分析：
（1）利用導數可以求解函數單調性得到極值與最值,但是函數含有參數,故而需要討論,首先對函數求定義域，求導可以發現導函數的分母恒大于0不影響導函數符號,故考慮分子大于0,小于0的解集,討論a的范圍得到區間的單調性,分析就可以得到原函數在固定區間上的最值.
（2）設出切點坐標,利用切點滿足的三個條件（①切點在原函數上，坐標滿足原函數方程 ②切點在切線上，坐標滿足切線方程 ③原函數在切點處的導數為切線的斜率）建立關于a的方程，解方程求出a的值.
（3）由（2）的結論得到此時直線為曲線的切線,且分析原函數與切線的圖像可以發現曲線在直線下方,即可以發現在區間上不等式恒成立,作差即可嚴格證明該不等式是成立的.利用該不等式對放縮為可求和的式子,進而求的的最值,得到的取值范圍與最值.
試題解析：
（1），              2分
令，解得（負值舍去），
由，解得．
（ⅰ）當時，由，得，
在上的最大值為．              3分
（ⅱ）當時，由，得，
在上的最大值為．             4分
（ⅲ）當時，在時，，在時，，
在上的最大值為．         5分
（2）設切點為，則             6分
由，有，化簡得，
即或， ①
由，有，②
由①、②解得或．                 9分
（3）當時，，
由（2）的結論直線為曲線的切線，
，點在直線上，
根據圖像分析，曲線在直線下方．         10分
下面給出證明：當時，．
，
當時，，即．          12分
，
， ．
要使不等式恒成立，必須．         13分
又當時，滿足條件，
且，
因此，的最小值為．            14分