Question

已知定義域為R的函數f（x）為奇函數，且在（-∞，0）內是減函數，f（-3）=0，則不等式xf（x）≤0的解集為

{x|x≤-3，或x=0，或x≥3}

．

Answer 1

分析：根據f（x）在（-∞，0）內是減函數，f（-3）=0，可得x≤-3時，滿足不等式xf（x）≤0，再由函數f（x）是定義在R上的奇函數，可得x≥3時，滿足不等式xf（x）≤0，及當x=0時，滿足不等式xf（x）≤0，最后綜合討論結果，可得答案．

解答：解：f（x）在（-∞，0）內是減函數，f（-3）=0，
故當x∈（-∞，-3）時，f（x）＞0，
當x∈（-3，0）時，f（x）＜0，
故x∈（-∞，0）時，若xf（x）≤0，可得x≤-3．
又∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
故x∈（0，+∞）時，若xf（x）≤0，可得x≥3，
又由f（0）=0，故當x=0時，滿足不等式xf（x）≤0．
綜上所述不等式xf（x）≤0的解集為{x|x≤-3，或x=0，或x≥3}
故答案為：{x|x≤-3，或x=0，或x≥3}

點評：本題考查的知識點是函數的單調性和函數的奇偶性，熟練掌握函數的性質及應用是解答的關鍵．