Question

已知二次函數f（x）的頂點坐標為（1，1），且f（0）=3．
（1）當x∈[-1，1]，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數m的取值范圍．
（2）若f（x）在區間[a，a+1]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式．
（3）求g（a）最小值．

Answer 1

分析：（1）設二次函數解析式為f（x）=ax²+bx+c，結合已知條件建立關于a、b、c的方程組，解之即得a、b、c的值，從而得到f（x）的解析式．再用變量分離的方法，通過求最值得到使函數在[-1，1]上的圖象恒在y=2x+2m+1的上方的m取值范圍．
（2）因為函數f（x）的圖象是關于直線x=1對稱的拋物線且開口向上，可得f（x）在區間[a，a+1]上的最大值為f（a）和f（a+1）中的較大值，再用作差比較的方法，得到不同情況下函數最大值的情況，從而得到f（x）在區間[a，a+1]上的最大值g（a）的表達式．
（3）由二次函數的單調性可得，函數g（a）在R上先減后增，由此不難得到函數g（a）最小值．

解答：解：（1）設二次函數的解析式為f（x）=ax²+bx+3
∵函數f（x）圖象的頂點坐標為（1，1），
∴-

b

2a

=1且f（1）=a+b+3=1．解之得a=2，b=-4
∴二次函數的解析式為f（x）=2x²-4x+3
∵y=f（x）當x∈[-1，1]時的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，
∴2x²-4x+3＞2x+2m+1在區間[-1，1]恒成立，即2m＜2x²-6x+2在區間[-1，1]恒成立，
∵函數t=2x²-6x+2在區間[-1，1]是減函數
∴當x=1時，2x²-6x+2的最小值是-2，
可得當2m＜2x²-6x+2在區間[-1，1]恒成立時，2m＜-2，即m＜-1；
（2）∵f（x）=2x²-4x+3的圖象是關于直線x=1對稱的拋物線，開口向上
∴函數在區間[a，a+1]上的最大值為f（a）和f（a+1）中的較大值
∵f（a+1）-f（a）=4a-2，
∴當a≥

1

2

時，4a-2≥0，可得f（a+1）＞f（a），函數最大值為f（a+1）=2a²+1
當a＜

1

2

時，4a-2＜0，可得f（a+1）＜f（a），函數最大值為f（a）=2a²-4a+3
因此，f（x）在區間[a，a+1]上的最大值g（a）的表達式為g（a）=

2a2+1          (a≥ 1 2 ) 2a2-4a+3   (a＜ 1 2 )

（3）當a≥

1

2

時，g（a）=2a²+1在區間[

1

2

，+∞）上是增函數，最小值為g（

1

2

）=

3

2

，
當a＜

1

2

時，g（a）=2a²-4a+3，在區間（-∞，

1

2

）上是減函數，最小值大于g（

1

2

）
∴函數g（a）最小值為g（

1

2

）=

3

2

點評：本題以二次函數為例，求函數在閉區間上的最大值的表達式，并求不等式恒成立時參數m的取值范圍，著重考查了二次函數的單調性、圖象的對稱性和函數恒成立問題的討論等知識，屬于中檔題．