Question

設函數f（x）=

a

3

x³+bx²+4cx+d的圖象關于原點對稱，f（x）的圖象在點P（1，m）處的切線的斜率為-6，且當x=2時，f（x）有極值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）求f （x）的單調區間；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．

Answer 1

分析：（1）欲求實數a、b、c、d的值，利用在x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率結合f′（2）=0．從而問題解決．
（2）把（1）求出的實數a、b、c、d的值代入導函數中確定出解析式，令導函數等于0求出x的值，根據x的值分區間討論導函數的正負，進而得到函數的單調區間．
（3）由（2）知f（x）在[-1，1]上單調遞減，當x∈[-1，1]時 f（1）≤f（x）≤f（-1）即|f（x）|≤

22

3

，進一步得到|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

22

3

+

22

3

=

44

3

從而得到證明．

解答：解：（1）f′（x）=ax²+2bx+4c由條件可得b=d=0，f'（1）=-6，f′（2）=0
∴a+4c=-6，4a+4c=0 解得 a=2，c=-2
故a=2，b=0，c=-2，d=0．′（4分）
（2）∵f（x）=

2

3

x³-8x，∴f'（x）=2x²-8=2（x+2）（x-2）
令f'（x）＞0得x＜-2或x＞2，令f′（x）＜0得-2＜x＜2．
∴f（x）的單調增區間為（和[2，+∞）；f（x）的單調減區間為[-2，2]．（8分）
（3）證明：由（2）知f（x）在[-1，1]上單調遞減
∴當x∈[-1，1]時 f（1）≤f（x）≤f（-1）即-

22

3

≤f（x）≤

22

3

亦即|f（x）|≤

22

3

故當x₁，x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）|≤

22

3

，|f（x₂）|≤

22

3

．
從而|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

22

3

+

22

3

=

44

3

即|f（x₁）-f（x₂）|≤

44

3

．…（5分）

點評：此題主要考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的單調性并根據函數的增減性得到函數的極值，是一道中檔題．