Question

已知函數y=f（x），x∈N^*，y∈N^*，滿足：①對任意a，b∈N^*，a≠b，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；②對任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．
（I）試證明：f（x）為N^*上的單調增函數；
（II）求f（1）+f（6）+f（28）；
（III）令a_n=f（3ⁿ），n∈N^*，試證明：.

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知條件中對任意a，b∈N^*，a≠b，我們不妨令a＜b，則可將已知中af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）變形為（a-b）（f（a）-f（b））＞0由a＜b判斷出f（a）-f（b）的符號，結合單調性的定義，即可作出結論．
（2）由對任意n∈N^*都有f[f（n）]=3n．我們不妨令f（1）=a，然后分a＜1，a=1，a＞1三類進行討論，再由a∈N^*，可以求出a值，結合（1）的結論，及y∈N^*，我們不難得到函數值與自變量之間的對應關系．
（3）a_n=f（3ⁿ），則易得f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．分析可知數列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數列再利用放縮法可證明

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

4

成立．

解答：解：（I）由①知，對任意a，b∈N^*，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），
所以函數f（x）為N^*上的單調增函數．
（II）令f（1）=a，則a≥1，顯然a≠1，否則f（f（1））=f（1）=1，與f（f（1））=3矛盾．
從而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N^*，
從而a=2，即f（1）=2．
進而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54-27=81-54=27，
而且由（I）知，函數f（x）為單調增函數，
因此f（28）=54+1=55．
從而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．
（III）f（a_n）=f（f（3ⁿ））=3×3ⁿ=3ⁿ⁺¹，a_n+1=f（3ⁿ⁺¹）=f（f（a_n））=3a_n，a₁=f（3）=6．
即數列{a_n}是以6為首項，以3為公比的等比數列．
∴a_n=6×3^n-1=2×3ⁿ（n=1，2，3）．
于是

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1

2

(

1

3

+

1

32

++

1

3n

)=

1

2

×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

4

(1-

1

3n

)，
顯然

1

4

(1-

1

3n

)＜

1

4

，
另一方面3ⁿ=（1+2）ⁿ=1+C_n¹×2+C_n²×2²++C_nⁿ×2ⁿ≥1+2n，
從而

1

4

(1-

1

3n

)≥

1

4

(1-

1

2n+1

)=

n

4n+2

．
綜上所述，

n

4n+2

≤

1

a1

+

1

a2

++

1

an

＜

1

4

．

點評：（1）對于抽象函數的函數值的求法，我們不可能求出函數的解析式，但觀察到af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）移項分解后的形式，故可據此分析函數的單調性；（2）中分類討論求f（1）的值，及根據已知條件和（1）的結論得到f（28）值用到需要較強的邏輯能力；（3）中放縮法是證明不等式常用的方法，要求大家了解并學會使用．