Question

已知函數(shù)f（x）=2（x²-2ax）lnx-x²+4ax+1，
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）a=0時，f（x）=2x²lnx-x²+1，f′（x）=4xlnx，k=f′（e）=4e，f（e）=e²+1，由此能求出曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程．
（2）由f（x）=2（x²-2ax）lnx-x²+4ax+1，知x＞0，f′（x）=（4x-4a）lnx+2x-4a-2x+4a=（4x-4a）lnx，由f′（x）=0，得x=0，或x=1．由此根據(jù)a的取值范圍進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=2（x²-2ax）lnx-x²+4ax+1，
∴a=0時，f（x）=2x²lnx-x²+1，
∴x＞0，f′（x）=4xlnx，
k=f′（e）=4e，f（e）=e²+1，
∴曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程y-e²-1=4e（x-e），
整理得：y=4ex-3e²+1；
（2）∵f（x）=2（x²-2ax）lnx-x²+4ax+1，
∴x＞0，f′（x）=（4x-4a）lnx+2x-4a-2x+4a=（4x-4a）lnx，
由f′（x）=0，得x=0，或x=1．
當a≤0時，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上減，在（1，+∞）上增；
當0＜a＜1時，
由f′（x）＞0，得x＞1或0x＜a；由f′（x）＜0，得a＜x＜1，
∴f（x）在（a，1）上減，在（0，a），（1，+∞）上增；
a=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；
a＞1時，
由f′（x）＞0，得x＞a，或0＜x＜1；由f′（x）＜0，得1＜x＜a，
∴f（x）在（0，1），（a，+∞）上增，在（1，a）上減．

點評：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用．