Question

設函數f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），則y=f（x）（　　）

• A．在區間（

  1

  e

  ，1），（1，e）內均有零點．
• B．在區間（1，e），（e，3）內均有零點．
• C．在區間（e，3），（3，e²）內均無零點．
• D．在區間內（1，e），（3，e²）內均有零點．

Answer 1

分析：求f（x）的零點問題，可以令g（x）=

1

3

x，h（x）=lnx（x＞0），分別畫出g（x）和h（x）的圖象，看交點所在的區間，從而進行判斷；

解答：解：∵函數f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），
可以令g（x）=

1

3

x，h（x）=lnx（x＞0），由圖象得，

可知：f（x）有兩個零點A，B，
A點在區間（1，e）內，B點在區間（3，e²）內，
故選D．

點評：本題考查的知識點是根據根的存在性及根的個數的判斷，其中將方程的根轉化為函數的零點，然后利用圖象法結合數形結合的思想，分析函數圖象交點與k的關系是解答本題的關鍵．