Question

在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若a、b、c成等差數列，sinB=

4

5

且△ABC的面積為

3

2

，求b．

Answer 1

分析：由三角形面積公式和a、b、c成等差數列，聯解得出a²+c²=4b²-

15

2

．由角B為銳角可得cosB=

1-sin2B

=

3

5

，由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB的式子，代入數據算出b²=4，從而得到b=2．

解答：解：∵由a、b、c成等差數列，得a+c=2b
∴平方得a²+c²=4b²-2ac------①…（2分）
又∵S_△ABC=

3

2

且sinB=

4

5

，
∴S_△ABC=

1

2

ac•sinB=

1

2

ac×

4

5

=

2

5

ac=

3

2

故ac=

15

4

-------②…（4分）
由①②聯解，可得a²+c²=4b²-

15

2

-------③…（5分）
又∵sinB=

4

5

，且a、b、c成等差數列
∴cosB=

1-sin2B

=

1- 16 25

=

3

5

．…（8分）
由余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-2×

15

4

×

3

5

=a²+c²-

9

2

-------④…（10分）
由③④聯解，可得b²=4，所以b=2．…（12分）

點評：本題給出三角形的三邊成等差數列，在已知B的正弦和面積情況下求邊長．著重考查了等差數列的性質、正余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．