Question

已知函數f（x）=

2

3

x（x2-3ax-

9

2

）（a∈R）
（1）若函數f（x）的圖象上點P（1，m）處的切線方程為3x-y+b=0，求m的值．
（2）若函數f（x）在（1，2）內是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=

2

3

x³-2ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-4ax-3，
則過點P（1，m）的切線斜率為k=f′（1）=-1-4a，
又∵切線方程為3x-y+b=0，
∴-1-4a=3，即a=-1
∴f（x）=

2

3

x³+2x²-3x，
又∵P（1，m）在f（x）的圖象上，
∴m=-

1

3

；
（2）∵函數f（x）在（1，2）內是增函數，
∴f′（x）=2x²-4ax-3≥0對一切x∈（1，2）恒成立，
即4ax≤2x²-3，
∴a≤

x

2

-

3

4x

，
∵y=

x

2

-

3

4x

在（1，2）內是增函數，
∴

x

2

-

3

4x

∈（-

1

4

，

5

8

），
∴a≤-

1

4

．