Question

如圖，一輛汽車從O點出發，沿海岸一條直線公路以100千米/時的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在O點南偏東方向距O點500千米且與海岸距離MQ為300千米的海上M處有一快艇，與汽車同時出發，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機，問快艇至少須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機手中，并求快艇以最小速度行駛時的方向與OM所成的角.

Answer 1

解：設快艇從M處以v千米/時的速度出發，沿MN方向航行，
t小時后與汽車相遇………………………………1分.
在△MON中，MO=500,ON=100t,MN=vt.……………………2分
設∠MON=α，
由題意,知sinα=,則cosα=.……………………4分
由余弦定理,知MN²=OM²+ON²-2OM·ONcosα,
即v²t²=500²+100²t²-2×500×100t×.
整理，得v²=(500×-80)²+3 600.……………………7分
當=,即t=時,v_min²="3" 600.
∴v_min=60,…………………………………………9
即快艇至少須以60千米/時的速度行駛，此時MN=60×=15×25,MQ=300.
設∠MNO=β，則sinβ==.
∴cosα=sinβ.
∴α+β=90°,即MN與OM垂直.………………………………12分

略