Question

【題目】對于任意實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.1]=1，[﹣2.1]=﹣3．定義在R上的函數(shù)f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0＜x＜1}，則A中所有元素之和為 ．

Answer 1

【答案】44
【解析】解：∵[x]表示不超過x的最大整數(shù)，A={y|y=f（x），0＜x＜1}，當0＜x＜ 時，0＜2x＜ ，0＜4x＜ ，0＜8x＜1，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0；
當 ≤x＜ 時， ≤2x＜ ， ≤4x＜1，1≤8x＜2，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1；
當 ≤x＜ 時， ≤2x＜ ，1≤4x＜ ，2≤8x＜3，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3；
當 ≤x＜ 時， ≤2x＜1， ≤4x＜2，3≤8x＜4，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4；
當 ≤x＜ 時，1≤2x＜ ，2≤4x＜ ，4≤8x＜5，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7；
當 ≤x＜ 時， ≤2x＜ ， ≤4x＜3，5≤8x＜6，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8；
當 ≤x＜ 時， ≤2x＜ ，3≤4x＜ ，6≤8x＜7，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10；
當 ≤x＜1時， ≤2x＜2， ≤4x＜4，7≤8x＜8，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11；
∴A={0，1，3，4，7，8，10，11}．
∴A中所有元素之和為0+1+3+4+7+8+10+11=44．
所以答案是：44．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能得出正確答案．