Question

已知雙曲線W：的左、右焦點分別為F₁、F₂，點N（0，b），右頂點是M，且，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過點Q（0，-2）的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點（B在A、Q之間），若點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，由∠NMF₂=120°，知∠NMF₁=60°，故b=，c=，由此能求出雙曲線的方程．
（Ⅱ）直線l的斜率存在且不為0，設直線l：y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3-k²）x²+4kx-7=0，由此入手，能夠求出的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，則∠NMF₁=60°，
∴b=，∴c=，
解得a=1，b=，∴雙曲線的方程為．（4分）
（Ⅱ）直線l的斜率存在且不為0，設直線l：y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（3-k²）x²+4kx-7=0，
則，
解得．     ①（6分）
∵點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，則，

=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）•-（7+2k）•+53
=＞0，解得k＞2．  ②
由①、②得實數k的范圍是2＜k＜，（8分）
由已知，
∵B在A、Q之間，則，且λ＞1，
∴（x₁，y₁+2）=λ（x₂，y₂+2），則x₁=λx₂，
∴，
則=，（10分）
∵2＜k＜，∴4＜，解得，又λ＞1，
∴1＜λ＜7．
故λ的取值范圍是（1，7）．（13分）
點評：考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．