Question

在△OAB的邊OA、OB上分別有一點P、Q，已知|

OP

|：|

PA

|=1：2，|

OQ

|：|

QB

|=3：2，連接AQ、BP，設它們交于點R，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（Ⅰ）用

a

與

b

表示

OR

；
（Ⅱ）過R作RH⊥AB，垂足為H，若|

a

|=1，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角θ∈[

π

3

，

2π

3

]，求

| BH|

| BA|

的范圍．

Answer 1

分析：（I）根據點P在邊OA上且| OP |：| PA |=1：2，點Q在邊OB上且| OQ |：| QB |=3：2，我們易將向量 OP 和 OQ 表示成 a ， b ．再根據AQR三點共線，BPR三點共線，我們可以分別得到兩個 OR 關于 a ， b 的分解形式，利用平面向量的基本定理，易構造關于λ，μ的方程，進而可用 a 與 b 表示 OR ； （II）由| a |=1，| b |=2， a 與 b 的夾角θ∈[ π 3 ， 2π 3 ]，結合（I）的結論及RH⊥AB，我們易求出 | BH| | BA| 的取值范圍．

解答：解：（I）由 OA = a ，點P在邊OA上且| OP |：| PA |=1：2， 可得 OP = 1 2 （ a - OP ）， ∴ OP = 1 3 a ．同理可得 OQ = 3 5 b ．（2分） 設 AR =λ AQ ， BR =μ BP (λ，μ∈R)， 則 OR = OA + AR = OA +λ AQ = a +λ( 3 5 b - a ）=（1-λ） a + 3 5 λ b ， OR = OB + BR = OB +μ BP = b +μ( 1 3 a -b）= 1 3 μ a +（1-μ） b ．（4分） ∵向量 a 與 b 不共線， ∴ 1-λ= 1 3 μ 3 5 λ=1-μ 解得λ= 5 6 ，μ= 1 2 ∴ OR = 1 6 a + 1 2 b ．（5分） （II）設 | BH| | BA | =γ，則 BH =γ BA =γ（ a - b ）， ∴ RH = BH - BR = BH -( OR - OB )=γ（ a - b ）-（ 1 6 a + 1 2 b ）+ b =(γ- 1 6 ) a +（ 1 2 -γ) b ．（6分） ∵ RH ⊥ BA ， ∴ RH • BA =0， 即[(γ- 1 6 ) a +（ 1 2 -γ) b ]•（ a - b ）=0(γ- 1 6 ) a 2+（ 1 2 -γ) b 2+( 2 3 -2γ) a • b =0（8分） 又∵| a |=1，| b |=2， a • b =| a || b |cosθ=2cosθ， ∴(γ- 1 6 )+4(γ- 1 2 )+( 2 3 -2γ)(2cosθ)=0 ∴γ= 1 6 × 13-8cosθ 5-4cosθ = 1 6 ( 3 5-4cosθ +2)．（10分） ∵θ∈[ π 3 ， 2π 3 ]， ∴cosθ∈[- 1 2 ， 1 2 ]， ∴5-4cosθ∈[3，7]， ∴ 1 6 ( 3 7 +2)≤γ≤ 1 6 (