Question

在△OAB的邊OA、OB上分別有一點P、Q，已知|

OP

|：|

PA

|=1：2，|

OQ

|：|

QB

|=3：2，連接AQ、BP，設它們交于點R，若

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（Ⅰ）用

a

與

b

表示

OR

；
（Ⅱ）過R作RH⊥AB，垂足為H，若|

a

|=1，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角θ∈[

π

3

，

2π

3

]，求

| BH|

| BA|

的范圍．

Answer 1

（I）由

OA

=

a

，點P在邊OA上且|

OP

|：|

PA

|=1：2，
可得

OP

=

1

2

（

a

-

OP

），
∴

OP

=

1

3

a

．同理可得

OQ

=

3

5

b

．（2分）
設

AR

=λ

AQ

，

BR

=μ

BP

(λ，μ∈R)，
則

OR

=

OA

+

AR

=

OA

+λ

AQ

=

a

+λ(

3

5

b

-

a

）=（1-λ）

a

+

3

5

λ

b

，

OR

=

OB

+

BR

=

OB

+μ

BP

=

b

+μ(

1

3

a

-b）=

1

3

μ

a

+（1-μ）

b

．（4分）
∵向量

a

與

b

不共線，
∴

1-λ= 1 3 μ 3 5 λ=1-μ

解得λ=

5

6

，μ=

1

2

∴

OR

=

1

6

a

+

1

2

b

．（5分）
（II）設

| BH|

| BA |

=γ，則

BH

=γ

BA

=γ（

a

-

b

），
∴

RH

=

BH

-

BR

=

BH

-(

OR

-

OB

)=γ（

a

-

b

）-（

1

6

a

+

1

2

b

）+

b

=(γ-

1

6

)

a

+（

1

2

-γ)

b

．（6分）
∵

RH

⊥

BA

，
∴

RH

•

BA

=0，
即[(γ-

1

6

)

a

+（

1

2

-γ)

b

]•（

a

-

b

）=0(γ-

1

6

)

a

²+（

1

2

-γ)

b

²+(

2

3

-2γ)

a

•

b

=0（8分）
又∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ=2cosθ，
∴(γ-

1

6

)+4(γ-

1

2

)+(

2

3

-2γ)(2cosθ)=0
∴γ=

1

6

×

13-8cosθ

5-4cosθ

=

1

6

(

3

5-4cosθ

+2)．（10分）
∵θ∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴cosθ∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴

1

6

(

3

7

+2)≤γ≤

1

6

(

3

3

+2)，即

17

42

≤γ≤

1

2

．
故

| BH|

| BA|

的取值范圍是[

17

42

 ， 

1

2

]．（12分）