Question

已知函數f(x)=ax+

b

x

（b≠0）的圖象是以直線y=ax和y軸為漸近線的雙曲線．則由函數f(x)=

3 x

3

+

2 3

x

表示的雙曲線的實軸長等于

 

．

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，如圖，由函數f(x)=

3 x

3

+

2 3

x

表示的雙曲線的是以直線y=

3

3

x和y軸為漸近線的雙曲線．
得出即雙曲線的實軸所在的直線的方程，通過解方程組：

y= 3 x y= 3 x 3 + 2 3 x

求得頂點坐標，從而求得雙曲線的實軸長．

解答：解：如圖，由函數f(x)=

3 x

3

+

2 3

x

表示的雙曲線的是以直線y=

3

3

x和y軸為漸近線的雙曲線．
∵直線y=

3

3

x的傾斜角為：30°，
則直線OA（即雙曲線的實軸所在的直線）的傾斜角為：60°，
故直線OA的方程為：y=

3

x，
由方程組：

y= 3 x y= 3 x 3 + 2 3 x

解得A（

3

，3）
∴雙曲線的實軸長等于2×OA=2

3+9

=4

3

．
故答案為：4

3

．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、直線與雙曲線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．