Question

某觀測站C在A城的南偏西20°方向上，由A城出發有一條公路走向是南偏東40°，測得距C點31千米的B處有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后到達D處，此時C、D間的距離為21千米．
（1）求sin∠CBD的值；
（2）問這人還需走多少千米才到A城？

Answer 1

分析：（1）根據題意可知CD，BC，BD，在△BCD中，由余弦定理求得cos∠CBD，進而得到sin∠CBD；
（2）先求出cos∠BDC，進而設∠ADC=α，則sinα，cosα可求，在△ACD中，由正弦定理求得得AD，答案可得．

解答：解：（1）由已知得CD=21，BC=31，BD=20，
∴cos∠CBD=

312+202-212

2×31×20

=

23

31

．
∴sin∠CBD=

1-( 23 31 )2

=

12 3

31

（2）解：由已知得CD=21，BC=31，BD=20，
在△BCD中，由余弦定理得 cos∠BDC=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

．
設∠ADC=α，則 cosα=

1

7

，sinα=

4 3

7

，
在△ACD中，由正弦定理得

AD

sin( π 3 +α)

=

21

sin π 3

，
AD=

42

3

sin(

π

3

+α)=

42

3

(

3

2

×

1

7

+

1

2

×

4 3

7

)=15，
即所求的距離為15公里．

點評：本題主要考查了解三角新的實際應用．解題的關鍵是利用正弦定理，利用邊和角的關系求得答案．