Question

過橢圓

x2

16

+

y2

4

=1內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法，結(jié)合M（2，1）為AB的中點(diǎn)嗎，求出直線的斜率，即可得到直線的方程．

解答：解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
∵M(jìn)（2，1）為AB的中點(diǎn)
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∵又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則x12+4y12=16，x22+4y22=16
兩式相減得(x12-x22)+4(y12-y22)=0
于是（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

4

4×2

=-

1

2

，即kAB=-

1

2

，
故所求直線的方程為y-1=-

1

2

(x-2)，即x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．