Question

已知函數。（為常數，）

（Ⅰ）若是函數的一個極值點，求的值；

（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數；

（Ⅲ）若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）實數的取值范圍為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數，是函數的一個極值點，先求出其導函數：，利用是函數的一個極值點對應的結論，即時，它的導函數值為零，可令，即可求的值；（Ⅱ）求證：當時，在上是增函數，由于含有對數函數，可通過求導來證明，因此利用：，在時，分析出因式中的每一項都大于等于0，即得，從而可證明結論；（Ⅲ）先由（Ⅱ）知，在上的最大值為，把問題轉化為對任意的，不等式恒成立；然后再利用導函數研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）由已知，得且，

                                                      3分

（Ⅱ）當時， 

當時，  又   

故在上是增函數                                         6分

（Ⅲ）時，由（Ⅱ）知，在上的最大值為

于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立。

記

則

當時，  在區間上遞減，此時

由于，時不可能使恒成立，故必有

若，可知在區間上遞減，在此區間上，有

，與恒成立相矛盾，故，這時，

在上遞增，恒有，滿足題設要求，

     即

實數的取值范圍為                                       14分

考點：利用導數研究函數的極值，導數在最大值、最小值問題中的應用．