Question

若f(x)=ax+

a

x

-3lnx在區間[1，2]上為單調函數，則a的取值范圍是

a≤2

．

Answer 1

分析：首先求出函數f（x）的導函數，由函數f（x）在區間[1，2]上為單調函數，則其導函數在（1，2）恒大于等于0或恒小于等于0，引入輔助函數g（x）=ax²-3x-a后，結合函數在區間端點值的關系列式求解a的范圍．

解答：解：由f(x)=ax+

a

x

-3lnx，得：f′(x)=a-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

，
令g（x）=ax²-3x-a，
因為f(x)=ax+

a

x

-3lnx在區間[1，2]上為單調函數，
則f^′（x）在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
即g（x）=ax²-3x-a在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
也就是g（1）•g（2）≥0恒成立，
即（a-3-a）（4a-6-a）≥0，解得a≤2．
故答案為a≤2．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，函數在某區間上單調，說明其導函數在該區間內恒大于等于（或恒小于等于）0，能根據g（x）=ax²-3x-a在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0得出g（1）•g（2）≥0是解決該題的關鍵，此題是中檔題．