Question

設函數f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若關于x的不等式f（x）-m≥0在[0，e-1]有實數解，求實數m的取值范圍．
（2）設g（x）=f（x）-x²-1，若關于x的方程g（x）=p至少有一個解，求p的最小值．
（3）證明不等式：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）依題意得f（x）_max≥m，x∈[0，e-1]，求導數，求得函數的單調性，從而可得函數的最大值；
（2）求導函數，求得函數的單調性與最值，從而可得p的最小值；
（3）先證明ln（1+x）≤x，令x=

1

n

(n∈N*)，則x∈（0，1）代入上面不等式得：ln(1+

1

n

)＜

1

n

，從而可得
ln(n+1)-lnn＜

1

n

．利用疊加法可得結論．

解答：（1）解：依題意得f（x）_max≥m，x∈[0，e-1]
∵f′(x)=2(1+x)-

2

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，而函數f（x）的定義域為（-1，+∞）
∴f（x）在（-1，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數，
∴f（x）在[0，e-1]上為增函數，∴f(x)max=f(e-1)=e2-2
∴實數m的取值范圍為m≤e²-2
（2）解：g（x）=f（x）-x²-1=2x-2ln（1+x）=2[x-ln（1+x）]，∴g′(x)=2(1-

1

1+x

)=

2x

1+x

顯然，函數g（x）在（-1，0）上為減函數，在（0，+∞）上為增函數
∴函數g（x）的最小值為g（0）=0
∴要使方程g（x）=p至少有一個解，則p≥0，即p的最小值為0
（3）證明：由（2）可知：g（x）=2[x-ln（1+x）]≥0在（-1，+∞）上恒成立
所以ln（1+x）≤x，當且僅當x=0時等號成立
令x=

1

n

(n∈N*)，則x∈（0，1）代入上面不等式得：ln(1+

1

n

)＜

1

n

即ln

n+1

n

＜

1

n

，即ln(n+1)-lnn＜

1

n

所以ln2-ln1＜1，ln3-ln2＜

1

2

，ln4-ln3＜

1

3

，…，ln(n+1)-lnn＜

1

n

將以上n個等式相加即可得到：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查不等式的證明，考查恒成立問題，屬于中檔題．