Question

設實數x，y滿足條件

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

，若目標函數Z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12．
（1）畫出不等式組的平面區域圖；      
（2）求

2

a

+

3

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的約束條件，我們先找出平面區域的邊界線，進而分析平面區域所表示的區域在邊界的哪一側，可得滿足約束條件的平面區域圖；      
（2）由（1）中可行域及a＞0，b＞0，可得目標函數Z=ax+by在A點取最大值為12，進而得到4a+6b=12，利用基本不等式可得

2

a

+

3

b

的最小值．

解答：解：（1）滿足條件

4x-y-10≤0 x-2y+8≥0 x≥0，y≥0

的平面區域如下圖陰影部分所示：

（2）∵a＞0，b＞0，
∴在A點目標函數Z=4a+6b=12
即

a

3

+

b

2

=1
則

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）•（

a

3

+

b

2

）=（

2

3

+

3

2

）+（

a

b

+

b

a

）≥

2

3

+

3

2

+2=

25

6

故

2

a

+

3

b

的最小值為

25

6

點評：本題考查的知識點是簡單線性規劃，基本不等式，其中分析出目標函數Z=ax+by在A點取最大值是解答的關鍵．