Question

已知橢圓上一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為　     　.

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B也在橢圓上。

設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a

又∵|BF|=|AF′|   ∴|AF|+|BF|=2a  ……①

O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c

又|AF|=2csinα   ……②

|BF|=2ccosα    ……③

將②③代入①  2csinα+2ccosα=2a

∴，即，

∵，

∴)≤1，故橢圓離心率的取值范圍為。

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的定義及其幾何性質(zhì)，兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題利用橢圓的定義及直角三角形中的邊角關(guān)系，確定得到了橢圓離心率的表達(dá)式，根據(jù)角的范圍確定離心率的范圍，該題綜合性較強(qiáng)，也較為典型。