Question

已知函數f（x）=elnx，g（x）=e^-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函數g（x）的極大值；
（2 ）求證：；
（3）對于函數f（x）與h（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，則稱直線y=kx+b為函數f（x）與h（x）的“分界線”．設函數，試探究函數f（x）與h（x）是否存在“分界線”？若存在，請加以證明，并求出k，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）對于含有對數函數的函數的極值問題，往往利用導數研究，故先求出g（x）的導函數，通過解不等式令g′（x）＞0解決．
（2）由題意得：“lnx≤x-1，（當且僅當x=1時等號成立）”，令t=x-1得：t≥ln（t+1），取，原問題轉化成一個數列問題解決．
（3）設，原問題轉化為研究此函數的單調性問題，利用導數知識解決．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴．（1分）
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，（2分）
∴函數g（x）在（0，1）上遞增，（1，+∞）上遞減，∴g（x）_極大=g（1）=-2．（4分）
（Ⅱ）證明：由（1）知x=1是函數g（x）極大值點，也是最大值點，∴g（x）≤g（1）=-2，
即lnx-（x+1）≤-2⇒lnx≤x-1，（當且僅當x=1時等號成立）（5分）
令t=x-1得：t≥ln（t+1），取，
則，（7分）
∴，
迭加得（8分）
（Ⅲ）設，
則．
∴當時，F′（x）＜0，函數F（x）單調遞減；
當時，F′（x）＞0，函數F（x）單調遞增．
∴是函數F（x）的極小值點，也是最小值點，∴
∴函數f（x）與h（x）的圖象在處有公共點．（9分）
設f（x）與h（x）存在“分界線”且方程為：．
令函數，
ⅰ）由在x∈R恒成立，
即在R上恒成立，
∴成立，
∴，故．（11分）
ⅱ）下面再證明：恒成立．
設，則．
∴當時，φ′（x）＞0，函數φ（x）單調遞增；當時，φ′（x）＜0．函數φ（x）單調遞減．
∴時φ（x）取得最大值0，則（x＞0）成立．（13分）
綜上ⅰ）和ⅱ）知：且，
故函數f（x）與h（x）存在分界線為，此時．（14分）
另解：令f（x）=h（x），則，探究得兩函數圖象的交點為，
設存在“分界線”且為：，令函數，
再證：h（x）-u（x）≥0恒成立；f（x）-u（x）≤0恒成立證法同上ⅰ）和ⅱ．
點評：本題考查了對數函數的導數運算，研究函數的最值問題．考查應用所學導數的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數式、解方程、不等式、最大值等基礎知識