Question

f（x）是定義在R上的奇函數且對任意實數x，恒有f（x+2）=-f（x）．當x∈[0，2]時f（x）=2x-x²．則f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=

1

．

Answer 1

分析：由已知可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）即函數是以 4為周期的周期函數，結合x∈[0，2]時f（x）=2x-x²．可求f（0），f（1），f（2）f（3），代入即可求解

解答：解：∵對任意實數x，恒有f（x+2）=-f（x）．
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）即函數是以 4為周期的周期函數
當x∈[0，2]時f（x）=2x-x²．
∴f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，
而f（3）=-f（1）=-1
則f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）
=503[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]+f（0）+f（1）
=1
故答案為：1

點評：本題主要考查了抽象函數的函數值的求解，解題的關鍵是周期性規律的發現