Question

已知函數
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；
（Ⅱ）若，討論函數的單調區間；
（Ⅲ）對任意的，恒有，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）
（2）若，則，可知函數的增區間為和，減區間為                                  
若，則，可知函數的增區間為；
若，則，可知函數的增區間為和，減區間為
（3）

試題分析：解：（Ⅰ），得切線斜率為               2分
據題設，，所以，故有                             3分
所以切線方程為即                          4分
（Ⅱ） 
若，則，可知函數的增區間為和，減區間為                                   8分
若，則，可知函數的增區間為；
若，則，可知函數的增區間為和，減區間為  10分
（Ⅲ）當時，據（Ⅱ）知函數在區間上遞增，在區間上遞減，所以，當時，，故只需，
即
顯然，變形為，即，解得               12分
當時，據（Ⅱ）知函數在區間上遞增，則有
只需，解得.
綜上，正實數的取值范圍是                         14
點評：考查了導數在研究函數中的運用，求解切線方程以及函數單調性，以及函數的最值，屬于中檔題。