Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求a、b；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）試判斷函數(shù)在（-∞，0]上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）已知條件代入得到關(guān)于a，b的方程組，兩式相除可得a，把a代入其中一式可得b；
（2）首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（3）利用的單調(diào)性定義來證明：設(shè)元，作差，變形，判號，下結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得：

5 2 =2+2a+b 17 4 =4+22a+b

，解得

a=-1 b=0

．
（2）由（1）知：f（x）=2^x+2^-x．任取x∈R，則f（-x）=2^-x+2^-（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)．
（3）函數(shù)f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)．
證明：設(shè)x₁、x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（2x1+2-x1）-（2x2+2-x2）=（2x1-2x2）+（

1

2x1

-

1

2x2

）=

(2x1-2x2)(2x12x2-1)

2x12x2

∵x₁＜x₂＜0，∴0＜2x1＜2x2＜1，∴2x12x2＞0，，∴2x1-2x2＜0，，∴2x12x2-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上為減函數(shù)．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等，注意單調(diào)性證明變形要徹底，奇偶性的證明首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)開原點對稱．