Question

①若關于x的方程m（x-1）=3（x+2）的解為正數，求實數m的取值范圍；
②設①中m的取值范圍用集合A表示，關于x的不等式（x-a）（2a-1-x）＞0（a＜1）的解集用集合B表示，若B⊆A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：①首先解方程求得方程的解，根據方程的解是正數，即可得到一個關于a的不等式，從而求得a的范圍．
②根據上一問做出的集合A，做出x的不等式（x-a）（2a-1-x）＞0（a＜1）的解集，根據兩個集合之間的關系，得到兩個不等式的端點處的數字之間的關系，得到結果．

解答：解：①原式化為（m-3）x=m+6，
（1）當m=3時，無解；…（1分）
（2）當m≠3時，解集為x=

m+6

m-3

，…（1分）
由題意

m+6

m-3

＞0，解得：m＜-6或m＞3．…（2分）
②由①知A=（-∞，-6）∪（3，+∞），
由（x-a）（2a-1-x）＞0得（x-a）[x-（2a-1）]＜0，
因為a＜1，所以2a-1＜a，
所以原不等式的解集為2a-1＜x＜a，
所以B=（2a-1，a），…（3分）
因為B⊆A，所以有

a≤-6 a＜1

或

2a-1≥3 a＜1

，解得a≤-6．…（2分）
所以a的取值范圍是（-∞，-6]．…（1分）

點評：本題考查方程的解的情況，本題解題的關鍵通過解方程得到用含變量的代數式表示x．注意自變量的系數可能是0，要分類討論．