Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=ln（x+a）﹣x，曲線y=f（x）與x軸相切． （Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）是否存在實數m使得 恒成立？若存在，求實數m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設切點為（x0 ， 0），則f′（x）= ， 依題意 ，即 ，
解得 ．
∴f（x）=ln（x+1）﹣x，f′（x）= ．
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣1，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減

∴f（x）在（﹣1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減；
（Ⅱ）存在m= ，理由如下：
等價于 ，或 ．
令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），
則g′（x）= ，g″（x）= ，
①若m= ，
當﹣1＜x＜0時，﹣ ＜﹣1，m（x+2）ex＜1，∴g″（x）＜0；
當x＞0時，﹣ ＞﹣1，m（x+2）ex＞1，∴g″（x）＞0，
∴g′（x）在單調遞減區間為（﹣1，0），單調遞增為（0，+∞），
又g′（0）=0，∴g′（x）≥0，當且僅當x=0時，g′（x）=0，
從而g（x）在（﹣1，+∞）上單調遞增，又g（0）=0，
∴ 或 ，即 ＞m（1﹣ex）成立．
②若m ，∵g″（0）=2m﹣1＞0，
g″（ ）= ＜﹣4m2+m（ ）＜0，
∴存在x1∈（ ，0），使得g″（x1）=0，
∵g″（x）在（﹣1，0）上單調遞增，
∴當x∈（x1 ， 0）時，g″（x）＞0，g′（x）在（x1 ， 0）上遞增，
又g′（0）=0，∴當x∈（x1 ， 0）時，g′（x）＜0，
從而g（x）在（x1 ， 0）上遞減，又g（0）=0，
∴當x∈（x1 ， 0）時，g（x）＞0，
此時 ＞m（1﹣ex）不恒成立；
③若m＜ ，同理可得 ＞m（1﹣ex）不恒成立．
綜上所述，存在實數m= ．
【解析】（Ⅰ）設出切點坐標，由 即可求得a值，把a值代入函數解析式，得到當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況表，由圖表可得f（x）的單調區間；（Ⅱ） 等價于 ，或 ，令g（x）=f（x）﹣mx（1﹣ex）=ln（x+1）﹣x﹣mx（1﹣ex），x∈（﹣1，+∞），求其二階導數，然后對m分類討論得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．