設函數f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若函數f（x）在區間（-1，e-1）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）證明：當m＞n＞0時，（1+m）n＜（1+n）m．
（1）解：函數f（x）的定義域為（-1，+∞）（1分）
f′（x）=1-aln（x+1）-a（2分）
當a=1時，f′（x）=-ln（x+1）
當x＞0時，f′（x）＜0．
所以f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）．（4分）
（2）解：①當a=0時，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數 （5分）
②當a＞0時，令
，
當f′（x）＞0時，得
所以f（x）的遞增區間為
（7分）
又因為f（x）在區間（-1，e-1）上單調遞增
所以
，由此得
（8分）
綜上，得
（9分）
（3）要證：（1+m）
n＜（1+n）
m
只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證
設
，（10分）
則
（11分）
由（1）知：即當a=1時，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調遞減，
即x＞0時，有f（x）＜f（0），-------（12分）
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的減函數，（13分）
即當m＞n＞0時，g（m）＜g（n），
故原不等式成立． （14分）
分析：（1）確定函數的定義域，求導函數，從而確定f（x）的單調遞減區間；
（2）先確定函數的單調遞增區間，再根據f（x）在區間（-1，e-1）上單調遞增，建立不等式，從而可求實數a的取值范圍；
（3）根據要證明的結論，利用分析法來證明本題，從結論入手，要證結論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數，構造函數，問題轉化為只要證明函數在一個范圍上成立，利用導數證明函數的性質．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構造函數，是一個綜合題，解題時確定函數的單調性是關鍵．
