Question

已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別為5、4，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（0，3），經(jīng)過(guò)點(diǎn)M、N的圓P的圓心P在x軸上．
（1）求圓P的方程   
（2）若點(diǎn)Q（x，y）在圓P上，求：3x+4y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）易得M（4，5），從而算出MN的為（2，4），MN的斜率k=

5-4

4-2

=

1

2

．由此得出MN垂直平分線方程為y=-2x+8，交x軸于（4，0），得到圓心坐標(biāo)．利用距離公式算出半徑r=5，即可得到圓P的方程；
（2）根據(jù)圓的參數(shù)方程，令x=4+5cosα、y=5sinα并利用輔助角公式化簡(jiǎn)整理可得3x+4y=25sin（α+φ）+12（其中φ是滿足tanφ=

3

4

的銳角），再利用正弦函數(shù)的值域即可求出3x+4y的取值范圍．

解答：解：（1）∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別為5、4，
∴M（4，5）…．（1分），
可得線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），MN的斜率k=

5-4

4-2

=

1

2

∴線段MN垂直平分線的斜率為k'=

-1

k

=-2，
可得MN垂直平分線方程為y-4=-2（x-2）即y=-2x+8…．（3分），
令y=0得P（4，0），即圓心坐標(biāo)為（4，0）
又∵圓P的半徑為r=|PN|=

42+32

=5，
∴圓P的方程為（x-4）²+y²=25…．（6分）
（2）根據(jù)圓的參數(shù)方程，令x=4+5cosα，y=5sinα…．（8分）    
可得3x+4y=5（4sinα+3cosα）+12=25sin（α+φ）+12（其中φ是滿足tanφ=

3

4

的銳角）  …（10分）
∵sin（α+φ）∈[-1，1]，
∴3x+4y∈[12-25，12-25]，即3x+4y∈[-13，37]
即3x+4y的取值范圍為[-13，37]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足條件的圓，求圓的方程并求3x+4y的取值范圍．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與參數(shù)方程、三角函數(shù)的值域與函數(shù)最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．