Question

已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當x∈（0，1）時，f（x）=tan

πx

2

，則f（x）在[0，5]上的零點個數是（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意可推出f（x）在[0，5]上的零點只可能在0，1，2，3，4，5這6個數中取，從而由函數的性質一一推導即可．

解答： 解：∵當x∈（0，1）時，f（x）=tan

πx

2

，
∴f（x）在（0，1）上沒有零點，
又∵函數f（x）是奇函數，
∴f（x）在（-1，0）上也沒有零點，
又∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）在[0，5]上的零點只可能在0，1，2，3，4，5這6個數中取，
∵f（0）=0；
故0，2，4是函數的零點，
又∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1）；
∴f（1）=0；
故1，3，5是函數的零點，
故f（x）在[0，5]上的零點個數是6；
故選D．

點評：本題考查了函數的零點的個數的判斷，同時考查了函數的性質的綜合應用，屬于中檔題．